Rumus Himpunan – Operasi Himpunan, Jenis, Cara Menyatakan

Posted on

RumusRumus.com – kali ini akan membahas tentang rumus himpunan yang meliputi pengertian himpunan dan juga rumus himpunan beserta penjelasan dari jenis himpunan, irisan himpunan, cara menyatakan himpunan dan himpunan penyelesaian (SPLDV). Untuk lebih jelasnya simak pembahasan dibawah ini

Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang bisa didefinisikan dengan jelas, hingga dengan tepat bisa diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

Suatu himpunan dilambangkan dengan huruf kapital A, B, C, D, E, …………….. Z, benda ataupun objek yang termasuk kedalam himpunan disebut anggota himpunan atau elemen himpunan ditulis dengan sepasang kurung kurawal {……..}

Jenis Jenis Himpunan

1. Himpunan Semesta

Himpunan semesta atau semesta pembicaraan yaitu himpunan yang memuat semua anggota ataupun objek himpunan yang dibicarakan.

Himpunan semesta (semesta pembicaraan) umumnya dilambangkan dengan S atau U.

Contoh: Kalau kita membahas mengenai 1, ½, -2, -½,… maka semesta pembicaraan kita yaitu bilangan real.

Jadi himpunan semesta yang dimaksud adalah R. Apakah hanya R saja? Jawabannya tidak. Tergantung kita mau membatasi pembicaraanya.

Pada contoh di atas bisa saja dikatakan semestanya adalah C (himpunan bilangan kompleks). Namun kita tidak boleh mengambil Z (himpunan bilangan bulat) sebagai semesta pembicaraan.

2. Himpunan Kosong

Himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota, dan dinotasikan dengan {} atau ∅. Himpunan nol adalah himpunan yang hanya mempunyai l anggota, yaitu nol (0).

3. Himpunan Bagian

Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan dinotasikan A ⊂ B atau B ⊃ A.

Jika ada himpunan A dan B di mana setiap anggota A merupakan anggota B, maka dikatakan A merupakan himpunan bagian (subset) dari B atau dikatakan B memuat A dan dilambangkan dengan A ⊂ B.

Jadi, A ⊂ B jika dan hanya jika 𝑥 ⊂ A ⇒ 𝑥 ⊂ B
Jika ada anggota dari A yang bukan merupakan anggota B, maka A bukan bukan himpunan bagian dari B, dilambangkan dengan A ⊄ B.

Rumus himpunan
Rumus himpunan

Cara Menyatakan Himpunan

Himpunan dapat dinyatakan melalui tiga cara :

  1. Dengan kata-kata
    yaitu dengan menyebutkan semua syarat ataupun sifat-sifat keanggotaan dari suatu himpunan.
    Contoh: A adalah himpunan bilangan asli antara 5 dan 12, ditulis A = {bilangan asli antara 5 dan 12}
  2. Dengan Notasi Pembentuk Himpunan
    yaitu menyebutkan semua syarat atau sifat ke-anggotaan dari suatu himpunan, namun anggota himpunan dinyatakan dalam variabel peubah.
    Contoh: A adalah himpunan bilangan asli antara 5 dan 12, dituliskan {x: 5<x<12,x bilangan asli}.
  3. Dengan Mendaftar Anggota-anggotanya
    Yaitu menuliskan anggota-anggota himpunan dalam pasangan kurung kurawal dan memisahkan dengan tanda koma.
    Contoh: A adalah himpunan bilangan asli antara 5 dan 12, ditulis A= {6,7,8,9,10,11}

Operasi Himpunan

1. Irisan Himpunan

Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya ada di himpunan A dan ada di himpunan B. Dengan kata lain yaitu himpunan yang anggotanya ada di kedua himpunan tersebut.

Contoh: A = {a, b, c, d, e} dan B = {b, c, f, g, h}

Pada kedua himpunan tersebut ada dua anggota yang sama yaitu b dan c. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa irisan himpunan A dan B adalah b dan c atau ditulis dengan:

A ∩ B = {b, c}

A ∩ B dibaca himpunan A irisan himpunan B. Dengan diagram Venn A ∩ B bisa dinyatakan seperti pada Gambar berikut ini.

daerah irisan A dan B
daerah irisan A dan B

2. Gabungan Himpunan

A gabungan B ditulis A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}
Contohnya :
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 3, 5, 7, 11}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 11}

3. Selisih

A Selisih B ditulis A-B = {x | x ∈ A atau x Ï B}
Contohnya :
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 3, 5, 7, 11}
A-B = {1, 4}

4. Komplemen himpunan

Komplemen A ditulis A1 atau Ac = {x | x ∈ S dan x Ï A}
Contohnya :
A= {1, 2, … , 5}
S = {biangan Asli kurang dari 10}
Ac = {6, 7, 8, 9}

Contoh Soal operasi himpunan

Jika Diketahui: A= {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 3, 6, 7, 8}
C = {4, 5, 6, 7, 8}
Tentukanlah:
a. A ∩ B c. B ∩ C
b. A ∩ C d. A ∩ B ∩ C

Jawab :
a. A ∩ B = {2, 3} c. B ∩ C = {6, 7, 8}
b. A ∩ C = {4, 5} d. A ∩ B ∩ C = { }

Diagram Venn

Diagram venn adalah menyajikan suatu himpunan dengan satu himpunan memakai lingkaran dan seluruh himpunan atau himpunan semesta digambarkan dengan gambar segi empat.

Macam – Macam Himpunan

  1. Himpunan bilangan asli, yaitu A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … }
  2. Himpunan dari bilangan cacah , yaitu C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …. }
  3. Himpunan dari bilangan prima, yaitu X = { 2, 3, 5, 7, …. }
  4. Himpunan bilangan ganjil, yaitu G = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …. }
  5. Himpunan bilangan genap, misalnya G = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …. }
  6. Dan seterusnya.

Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel bisa dilakukan dengan empat metode yaitu :

  1. metode grafik
  2. metode substitusi
  3. metode eliminasi
  4. metode campuran (substitusi dan eliminasi).

Jika ada dua buah persamaan liniear dua variabel berbentuk ax + by = c dan px + qy = r, dimana persamaan yang satu dan lainnya tidak terpisahkan, maka persamaan-persamaan itu dinamakan sistem persamaan linear dua variabel.

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel yaitu:
ax + by = c
px + qy = r

Pada sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) a, b, p, dan q disebut koefisien, x dan y ialah variabel dari SPLDV, serta c dan r disebut konstanta.

Metode Grafik

Ketika memakai metode grafik, wajib menggambar masing-masing persamaan linear dua variabel dalam koordinat kartesius. Himpunan penyelesaiannya yaitu titik potong dari kedua garis.

Jika garisnya tidak berpotongan atau sejajar, Maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong. Tetapi jika garisnya berhimpit maka jumlah himpunan penyelesaiannya tak berhingga.

Metode Subtitusi

Langkah-langkah dengan menggunakan metode substitusi untuk mencari himpunan penyelesaian dari SPLDV yaitu sebagai berikut.

  1. Ubahlah salah satu persamaan ke dalam bentuk x = … atau y = …
  2. Masukkan (substitusi) nilai x atau y yang di dapat ke dalam persamaan yang kedua
  3. Nilai x atau y yang di dapat lalu kemudian disubstitusikan ke dalam salah satu persamaan untuk memperoleh nilai variabel lainnya yang belum diketahui (x atau y).

Metode Eliminasi

Penyelesaian SPLDV dengan metode eliminasi pada dasarnya yaitu menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan yang akan dicari himpunan penyelesaiannya.

Caranya dengan menjumlahkan ataupun mengurangkan kedua sistem persamaan tersebut.
Untuk menentukan variabel y, maka hilangkan terlebih dahulu variabel x.
Begitu juga sebaliknya, untuk menentukan variabel x, maka hilangkan terlebih dahulu variabel y.

Sebagai catatan
Untuk menghilangkan variabel x atau y maka koefisien dari masing-masing variabel dalam sistem persamaan harus sama.

Jika salah satunya tidak sama maka harus disamakan terlebih dahulu. Caranya mengalikan dengan bilangan bulat tertentu sehingga koefisiennya menjadi sama

Metode Campuran (Eliminasi dan Substitusi)

Dalam pengerjaan soal persamaan linear dua variabel, terkadang menemukan kesulitan jika menggunakan metoda eliminasi untuk menentukan himpunan penyelesaiannya.

Oleh sebab itu, bisa menggunakan metode campuran, yaitu dengan cara menentukan salah satu variabel x atau y dengan menggunakan metode eliminasi.

Hasil yang diperoleh dari x atau y kemudian disubstitusikan ke salah satu persamaan linear dua variabel tersebut.

Demikianlah pembahasan tentang materi himpunan, Semoga bermanfaat

Baca Juga :


Baca Juga :