Contoh Soal Induksi Matematika Beserta Jawabannya

Posted on

Rumusrumus.com kali ini akan membahas tentang contoh soal induksi matematika beserta jawabannya dilengkapi juga dengan definisi dan pengertian induksi matematika serta macam -macam langkah menyelesaikan induksi matematika.

Induksi Matematika

Induksi matematika adalah materi yang jadi perluasan dari logika matematika. Logika matematika mempelajari pernyataan yang bisa bernilai benar maupun salah, ekivalen ataupun ingkaran sebuah pernyataan, dan juga berisi penarikan kesimpulan.

Induksi matematika menjadi salah satu metode pembuktian secara deduktif yang dipakai untuk membuktikan suatu pernyataan benar maupun salah. Dimana suatu proses ataupun aktivitas berpikir menarik kesimpulan berdasarkan pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum hingga pada pernyataan khusus tertentu juga bisa berlaku benar.

Pada induksi matematika, variabel dari suatu perumusan dibuktikan sebagai anggota dari himpunan bilangan yang asli.

induksi matematika
induksi matematika

Langkah – Langkah Induksi Matematika

Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang dibutuhkan untuk membuktikan suatu rumus ataupun pernyataan. yaitu :

  1. pembuktian pada rumus ataupun pernyataan itu benar untuk n = 1
  2. pembuktian pada rumus ataupun pernyataan tersebut benar untuk n = k
  3. Membuktikan pada rumus ataupun pernyataan itu benar untuk n = k + 1

Contoh Soal Induksi Matematika

Buktikan bahwa :

 

 

Langkah 1 

 

 

1 = 1 ( terbukti )

Langkah 2 ( n = k )

 

 

Langkah 3 (n=k+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Efek Domino

Coba  lihat langkah tersebut satu per satu . Mulai dari langkah pertama.

Langkah 1:
Buktikan bahwa Sn ialah benar untuk n=1.
Langkah pertama ini mudah. hanya masukkan nilai n=1 ke persamaan, lalu hitung deretnya, selesai. Kesimpulannya: S1 adalah benar (Sn benar untuk n=1).

Langkah 2:
Buktikan bahwa benar untuk n=k, andai dia benar juga untuk n=k+1.
Karna pada langkah awal sudah di buktikan bahwa Sn adalah benar untuk n=1, berarti dia benar juga untuk n=2. Kalau Sn benar untuk n=2, maka Sn benar juga untuk n=3. Andai Sn benar untuk n=3, maka Sn benar juga untuk n=4. Dan begitu seterusnya sampai tak terhingga.

Jika penjelasan di atas masih belum begitu jelas, coba dengan pelan-pelan . Jadi bayangkan bahwasanya pembuktian yang di lakukan pada langkah 1 dan 2 tadi ialah nyatakan dalam dua premis, premis 1 untuk pernyataan pada langkah 2 dan premis 2 untuk pernyataan pada langkah 1. Jadinya begini:

Premis 1: Jika Sn benar untuk n=k, maka Sn benar juga untuk n=k+1
Premis 2: Sn benar untuk n=1

Kesimpulan:

Kalau kita mempunyai dua premis seperti itu, apa kesimpulan yang bisa diambil? Dikarenakan nilai k=1, berarti k+1 itu ialah 2.

Berarti kesimpulannya yaitu Sn benar juga untuk n=2. Kemudian lanjutkan lagi dengan kesimpulan dan masukkan ke dalam premis 2.

Premis 1: Jika Sn benar untuk n=k, berarti Sn benar juga untuk n=k+1
Premis 2: Sn benar untuk n=2

Kesimpulannya yaitu mudah, ternyata Sn benar untuk n=3. Ini masih bisa di lanjutkan lagi dengan teknik yang sama. Kesimpulan ini di jadikan premis 2.

Premis 1: Andai Sn benar untuk n=k, berarti Sn benar juga untuk n=k+1
Premis 2: Sn benar untuk n=3

Apa kesimpulan dari kedua premis di atas? kesimpulannya yaitu, Sn benar untuk n=4. Bisa lanjutkan proses ini sampai seterunya . Akan tetapi pada suatu titik harus berhenti melakukan ini dan mulai berpikir lagi.

Jadi, kalau proses ini di lanjutkan, akan mendapatkan kesimpulan bahwa Sn benar untuk semua n bilangan asli.

Ini sebabnya Induksi Matematika sering juga dikait-kaitkan dengan efek domino. Seperti efek domino, walaupun hanya menjatuhkan domino yang pertama, akibatnya seluruh domino tersebut bisa jatuh secara bergantian..

Baca Juga :


Baca Juga :