Induksi Matematika

Induksi Matematika – Hallo pengguna setia rumusrumus.com, jika membahas mengenai mata pelajaran apa yang tidak disukai, tentu kebanyakan jawabannya apa? Adakah di antara kamu yang menyukai mata pelajaran Matematika ini? Menyinggung tentang Matematika sama artinya membahas mengenai suatu hitungan tentunya. Itulah sebabnya beberapa orang khusunya pelajar mungkin tidak begitu suka dengan pelajaran ini.

Padahal belajar Matematika ini tidaklah begitu sulit, keseharian kita pasti penuh dengan hitung-hitungan, nah kali ini kita akan membahas mengenai induksi matematika yang ternyata tanpa disadari sering terjadi dikehidupan kita

Pengertian

Induksi Matematika merupakan salah satu metode pembuktian dimana dilakukan secara deduktif digunakan demi membuktikan pernyataan matematika yang bergantung terhadap himpunan bilangan yang terinci rapih (well ordered set). Misalnya bilangan asli maupun himpunan bagian tak kosong dari bilangan aslinya.

Tujuan

Perlu digarisbawahi jika induksi matematika ini hanya digunakan untuk membuktikan kebenaran terhadap sebuah pernyataan ataupun rumus, tidak untuk menurunkan rumus.

Lebih tegasnya atau intinya induksi matematika ini tidak bisa digunakan untuk menurunkan maupun menemukan rumus.

Contoh

Setelah membaca penjelasan sebelumnya, berikut beberapa contoh pernyataan matematika yang bisa dibuktikan melalui induksi matematika :

P(n) :  2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), n adalah bilangan asli
P(n) :  6ⁿ + 4 habis dibagi 5, untuk n sendiri bilangan asli.
P(n) :  4n < 2ⁿ, untuk tiap bilangan asli n ≥ 4

Cara awal yang paling mudah agar memahami prinsip kerja induksi matematika ialah mengamati efek dominonya. Kita bisa mulai dengan mengajukan sebuah pertanyaan “kapan semua domino akan jatuh?”.

Ada dua syarat kondisi yang harus terpenuhi supaya semua domino tersebut jatuh :

Pertama : domino pertama atau 1 harus jatuh.
Kedua : benar jika setiap domino yang jatuh maka akan menjatuhkan tepat satu domino pada berikutnya.
Maksudnya bahwa domino 1 jatuh maka domino 2 juga pasti akan jatuh, lalu jika domino 2 jatuh maka domino 3 juga pasti akan jatuh begitu seterusnya sampai akhir.

Secara umum bisa dikatakan jika domino k jatuh maka domino (k + 1) juga akan jatuh serta implikasi hal ini berlaku bagi semua domino.

Sehingga kedua syarat kondisi diatas sudah terpenuhi, maka sudah dipastikan semua domino akan jatuh juga.

Baca Juga : Contoh Soal Induksi Matematika

Prinsip-Prinsip

Seperti P(n) merupakan sebuah pernyataan dimana bergantung pada n. P(n) benar jika setiap n bilangan asli dapat memenuhi 2 kondisi dibawah ini :

1. P(1) benar, berarti untuk n = 1 maka P(n) adalah bernilai benar.
2. Tiap bilangan asli k, maka P(k) benar maka P(k + 1) ialah juga benar.

Prinsip diatas bisa diperluas untuk pernyataan yang bergantung terhadap himpunan bagian tak kosong dari bilangan aslinya.

Perluasan prinsip :
Seperti P(n) merupakan sebuah pernyataan yang bergantung pada n. P(n) benar untuk setiap bilangan aslinya n ≥ m jika telah memenuhi 2 kondisi syarat berikut :

1. P(m) benar, berarti untuk n = m, maka P(n) merupakan bernilai benar
2. Tiap bilangan asli k ≥ m, maka P(k) benar dan P(k + 1) ialah juga benar.

Untuk menunjukkan P(1) ialah benar, kita cukup mensubstitusikan n = 1 dalam P(n). Jika P(n) disajikan pada bentuk persamaan, berarti ruas kiri harus sama dengan ruas kanannya pada saat sudah n = 1, barulah dapat disimpulkan P(1) ialah benar. Dengan cara yang sama dapat diterapkan agar menunjukkan P(m) benar.

Kembali lagi didalam kasus domino yang terjadi diatas, supaya domino (k + 1) jatuh, terlebih dulu domino k harus jatuh, sehingga barulah implikasi “jika domino k jatuh maka selanjutnya domino (k + 1) akan jatuh juga” bisa terjadi.

Sehingga untuk menunjukkan implikasi “jika P(k) benar maka P(k + 1) juga pasti benar”, terlebih dulu kita dapat menganggap maupun mengasumsikan jika P(k) benar.

Lalu berdasarkan asumsi itu kita tunjukkan P(k + 1) juga pasti benar. Langkah asumsi P(k) benar ini dikenal dengan istilah hipotesis induksi.

Langkah-Langkah Pembuktian

Setelah mengetahui prinsipnya, berikut langkah-langkah pembuktian induksi matematika yang dapat dijabarkan sebagai berikut :

1. Langkah Dasar : Tunjukkan jika P(1) ialah benar.
2. Langkah Induksi : Asumsikan bahwa P(k) juga benar untuk tiap bilangan asli, selanjutnya tunjukkan P(k+ 1) juga pasti benar berdasarkan asumsi itu. 
3. Kesimpulan : P(n) benar untuk setiap bilangan asli n tersebut.

Pembuktian Deret

Berikut hal – hal yang perlu diperhatikan menyangkut deret, sebelum masuk pada pembuktian deretnya.

Jika P(n) :  u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n = S_n , maka
P(1) :  u₁ = S₁
P(k) :  u₁ + u₂ + u₃ + … + u_k = S_k
P(k + 1) :  u₁ + u₂ + u₃ + … + u_k + u_k+1 = S_k+1

Contoh
Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), buat tiap n bilangan asli.

Jawab :
P(n) :  2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)
Segera dibuktikan P(n) benar untuk tiap n ∈ N

Langkah Dasar :
Segera ditunjukkan P(1) ialah benar
2 = 1(1 + 1)
Maka P(1) ialah benar

Langkah Induksi :
Asumsikan jika P(k) benar ialah
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1),    k ∈ N

Segera ditunjukkan P(k + 1) juga akan benar, yaitu
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Hasil asumsi :
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1)
Lalu tambahkan kedua ruas kanan dan kiri dengan u_k+1 :
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)
Maka P(k + 1) ialah benar

Berdasarkan prinsip yang telah dijelaskan sebelumnya, terbukti jika P(n) benar untuk tiap n bilangan asli tersebut.

Pembuktian Keterbagian

Pernyataan “a habis dibagi b” bersinonim dengan :

1. a kelipatan b
2. b faktor dari a
3. b membagi a

“Jika p sudah habis dibagi a dan q sudah habis dibagi a, sehingga (p + q) juga sudah habis dibagi a”.
Misalnya :
4 dapat habis dibagi 2 dan
6 dapat habis dibagi 2,
Sehingga (4 + 6) juga dapat habis dibagi 2

Contoh
Buktikan jika 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, untuk tiap n merupakan bilangan asli.

Jawab :
P(n) :  6ⁿ + 4 dapat habis dibagi 5
Maka segera dibuktikan P(n) benar untuk tiap n ∈ N.

Langkah Dasar :
Segera ditunjukkan P(1) benar
6¹ + 4 = 10 habis dibagi 5
Sehingga P(1) ialah benar

Langkah Induksi :
Asumsikan jika P(k) benar, yaitu
6^k + 4 dapat habis dibagi 5, k ∈ N

Segera ditunjukkan P(k + 1) juga akan benar, yaitu
6^k+1 + 4 dapat habis dibagi 5.

6^k+1 + 4 = 6(6^k)+ 4
6^k+1 + 4 = 5(6^k) + 6^k + 4

Karena 5(6^k) dapat habis dibagi 5 dan
6^k + 4 dapat habis dibagi 5,
Sebabnya 5(6^k) + 6^k + 4 juga dapat habis dibagi 5.
Sehingga P(k + 1) ialah benar.

Berdasarkan prinsip induksi matematika yang telah dibahas, terbukti jika 6ⁿ + 4 dapat habis dibagi 5, untuk tiap n bilangan asli tersebut.

“Bilangan bulat a habis dibagi bilangan bulat b jika terdapat bilangan bulat m sehingga berlaku a = bm”.
Misalnya, “10 habis dibagi 5″ benar karena terdapat suatu bilangan bulat m = 2 sehingga 10 = 5.2. Maka pernyataan bahwa”10 habis dibagi 5” dapat ditulis menjadi “10 = 5m, untuk m ialah bilangan bulat”
Menurut konsep diatas, pembuktian keterbagian bisa juga diselesaikan melalui cara sebagai berikut.

Pembuktian Pertidaksamaan

Sebelum ke contoh mengenai ini, berikut perhatikanlah sifat-sifat pertidaksamaan yang biasa digunakan :

Sebelum masuk kedalam contoh soal, alangkah bagusnya kita latihan terlebih dahulu menggunakan sifat-sifat yang ada diatas agar dapat menunjukkan implikasi “jika P(k) benar maka P(k + 1) juga dapat benar”.

Seperti :
P(k) :  4k < 2^k
P(k + 1) :  4(k + 1) < 2^k+1
Sehingga diasumsikan jika P(k) benar untuk k ≥ 5, tunjukkan jika P(k + 1) juga ialah benar !

Ingatlah bahwa target awal ialah menunjukkan
4(k + 1) < 2^k+1 = 2(2^k) = 2^k + 2^k  (TARGET)

Pertama dapat dimulai dari ruas kiri bentuk pertidaksamaan diatas :
4(k + 1) = 4k + 4
4(k + 1) < 2^k + 4        (karena 4k < 2^k)
4(k + 1) < 2^k + 2^k      (karena 4 < 4k < 2^k)
4(k + 1) = 2(2^k)
4(k + 1) = 2^k+1

Menurut sifat transitif yang sudah dijelaskan, dapat disimpulkan
4(k + 1) < 2^k+1

Mengapa 4k bisa berubah menjadi 2^k ?
Menurut sifat ke 3, kalian diperbolehkan menambahkan kedua ruas suatu pertidaksamaan menjadi bilangan yang sama, karena tidak dapat merubah nilai kebenaran pertidaksamaan tersebut. Karena 4k < 2^k benar, akibatnya 4k + 4 < 2^k + 4 juga ialah benar.

Darimana kita tahu, 4 harus diubah menjadi 2^k ?
Perhatikanlah target awal kalian. Hasil sementara ialah 2^k + 4 sedangkan target awal ialah 2^k + 2^k.

Jika k ≥ 5, maka 4 < 4k dan 4k < 2^k ialah benar, sehingga 4 < 2^k juga benar (dimana bersifat transitif). Akibatnya 2^k + 4 < 2^k + 2^k ialah benar (dimana bentuk sifat 3).

Contoh
Buktikanlah untuk setiap bilangan asli jika n ≥ 4 berlaku
3n < 2ⁿ.

Jawab :
P(n) :  3n < 2ⁿ
Segera dibuktikan P(n) juga berlaku untuk n ≥ 4, n ∈ NN

Langkah Dasar :
Segera ditunjukkan P(4) ialah benar
3.4 = 12 < 2⁴ = 16
Sehingga P(4) ialah benar

Langkah Induksi :
Lalu asumsikan P(k) juga benar, yaitu
3k < 2^k,    k ≥ 4

Segera ditunjukkan P(k + 1) juga ialah benar, yaitu
3(k + 1) < 2^k+1

3(k + 1) = 3k + 3
3(k + 1) < 2^k + 3               (karena 3k < 2^k)
3(k + 1) < 2^k + 2^k             (karena 3 < 3k < 2^k)
3(k + 1) = 2(2^k)
3(k + 1) = 2^k+1

Maka P(k + 1) juga ialah benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika yang telah dibahas, terbukti jika P(n) berlaku untuk tiap bilangan aslinya n ≥ 4.

Demikianlah pembahasan artikel kali ini, semoga bermanfaat dan menjadi ilmu pengetahuan baru bagi para pembaca.

Baca juga artikel lainnya :

• Pertidaksamaan Irasional
• Pertidaksamaan Rasional
• Nilai Mutlak