Diferensial Matematika – Pengertian, Rumus, Contoh Soal

Posted on

Rumusrumus.com kali ini akan membahas tentang pengertian, definisi, rumus, dan contoh soal diferensial matematika beserta pembahasannya lengkap. Diferensial adalah sebuah teori persubahaan variabel untuk lebih jelasnya simkahlah penjelasan dibawah ini.

Pengertian Diferensial

Turunan fungsi (diferensial) ialah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f’ yang memiliki nilai tak beraturan. Turunan ( diferensial ) dipakai sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.

Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman.

Turunan Matematika Adalah

Misal y ialah fungsi dari x atau y = f(x). Turunan (atau diferensial) dari y terhadap x

Rumus Diferensial

Rumus 1 :
Jika y = cxn dengan c dan n konstanta real
maka dy/dx = cn xn-1
contoh :
y = 2×4 maka dy/dx = 4.2×4-1 = 8×3

Rumus 2 :
Jika y = f(x) + g(x)
maka turunannya sama dengan turunan dari masing-masing fungsi = f'(x) + g'(x)
contoh:
y = x3 + 2×2 maka y’ = 3×2 + 4x
y = 2×5 + 6 maka y’ = 10×4 + 0 = 10×4

Rumus 3 :
Jika y = c dengan c adalah konstanta
maka dy/dx = 0
contoh:
jika y = 6 maka turunannya yaitu sama dengan nol

Rumus 4 :
Turunan Perkalian Fungsi Jika y f(x).g(x)
maka y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)
contoh:
y = x2 (x2+2) maka
f(x) = x2
f'(x) = 2x
g(x) = x2+2
g'(x) = 2x
Kemudian masukkan ke rumus y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)
y’ = 2x (x2+2) + 2x . x2
y’ = 4×3 + 4x (jawaban ini juga bisa diperoleh dengan cara mengalikan terlebih dahulu lalu menggunakan rumus 2)

Rumus 5 :
ef (x) maka dy/dx = ef(x).f'(x)
contoh :
y = e2x+1
f (x) = 2x+1
f’ (x) = 2
maka f’ = e2x+1 . 2 = 2e2x+1

Rumus 6 :
Turunan Trigonometri Sin

Jika punya y = sin f(x)
maka turunannya yaitu y’ = cos f(x) . f'(x)
contoh :
y = sin(x2 + 1)
maka y’ = cos (x2 +1) . 2x = 2x. cos (x2 +1)

Rumus 7 :
Turunan Trigonometri Cos

Jika punya y = cos f(x)
maka turunanya adalah y’ = -sin f(x). f'(x)
contoh :
y = cos (2x+1)
maka turunannya y’ = -sin (2x+1) . 2 = -2 sin (2x+1)

Rumus Turunan Kedua
rumus turunan kedua sama dengan turunan dari turunan pertama .
Turunan kedua diperoleh dengan cara menurunkan turunan pertama.
Contoh :
Turunan kedua dari x3 + 4×2
turunan pertama = 3×2 + 8x
turunan kedua = 6x + 8

Contoh Soal Diferensial (Turunan Fungsi)

Contoh Soal 1
Persamaan garis singgung pada kurva y = 2×3-5×2-x+6 yang berabsis 1 ialah …

Penyelesaian :
y = 2×3 – 5×2 – x + 6 → x = 1
y’ = 6×2 – 10x – 1
y (1) = 2(1)3- 5(1)2 – 1 + 6
= 2 – 5 – 1 + 6
= 2 → ( 1 , 2 )

y’ = m = 6×2 – 10x – 1
= 6(1)2 – 10.1 – 1
= -5

Persamaan garis siggung : y – b = m (x – 1)
y – 2 = -5 (x – 1)
y – 2 = -5x + 1
5x + y +3 = 0
Jawaban : 5x + y + 3 = 0

Contoh Soal 2
Turunan pertama fungsi F(x) = Cos5(4x-2) ialah F’(x) = …
-5 Cos4 (4x-2) Sin (4x-2)
5 Cos4 (4x-2) Sin (4x-2)
20 Cos4 (4x-2) Sin (2x-2)
10 Cos3 (4x-2) Sin (8x-4)
-10 Cos3 (4x-2) Sin (8x-4)

Jawab :
F(x) = Cos5(4x-2)
u = Cos (4x-2) → u’ = -4Sin(4x-2)
n = 5

F’(x) = nun-1.u’
= 5 Cos5-1 (4x-2) . -4 Sin (4x-2)
= 5 Cos4 (4x-2) . -4 Sin (4x-2)
= -20 Cos4 (4x-2)Sin (4x-2)
= -10.2 Cos (4x-2)sin (4x-2) . Cos3 (4x-2)
= -10 Sin 2(4x-2) Cos3 (4x-2)
= -10 Sin (8x-4) Cos3 (4x-2)
= ( -4x+5) e-3x+4

Demikianlah Rumusrumus.com menjelaskan tentng diferensial matematika, Semoga bermanfaat

Artikel Lainya :


Baca Juga :